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Le problème des trois corps rebondit

Déterminer les trajectoires de trois corps soumis uniquement à leur interaction gravitationnelle est un problème célèbre posé depuis plus de deux siècles. Les mathématiciens savent aujourd’hui qu’ils ne pourront jamais le « résoudre » complètement. Cependant, l’étude de cas particuliers a, encore récemment, donné lieu à des découvertes intrigantes.

Auteur

Richard Montgomery

Richard Montgomery est professeur de mathématiques à l’université de Californie à Santa Cruz, aux États-Unis.

L'essentiel

Le « problème des trois corps » consiste à décrire la trajectoire de trois masses soumises seulement à leur attraction gravitationnelle mutuelle, leurs positions et vitesses initiales étant données.

Au cours des deux derniers siècles, les mathématiciens ont montré que le problème des trois corps est quasiment « insoluble » : il est généralement impossible de décrire la trajectoire des corps par une formule.

Le problème continue cependant d’inspirer les chercheurs, qui découvrent par exemple des solutions intéressantes dans des configurations particulières.

En savoir plus

R. Moeckel et R. Montgomery, Realizing all reduced syzygy sequences in the planar three-body problem, Nonlinearity, vol. 28(6), pp. 1919-1935, 15 mai 2015.

A. Chenciner et R. Montgomery, A remarkable periodic solution of the three-body problem in the case of equal masses, Annals of Mathematics, vol. 152(3), pp. 881-901, 1er novembre 2000.

Note 
On sait depuis les travaux du mathématicien français Henri Poincaré que si on laisse évoluer librement trois corps massifs soumis seulement à l'attraction gravitationnelle, les trajectoires qu'ils empruntent sont chaotiques : d'infimes variations des conditions initiales se traduisent au bout d'un certain temps par des modifications considérables dans leurs trajectoires.

Au printemps 2014, j’avais baissé les bras face au problème des trois corps. À court d’idées, j’avais commencé à programmer sur mon ordinateur portable pour calculer des solutions approchées et les étudier. Ces tentatives ne répondraient jamais à la question mathématique précise que je m’étais posée, mais elles me fourniraient des indices pour avancer. Cependant, mon incompétence en programmation rendait cette expérience pénible pour un mathématicien comme moi, attaché à son papier et son crayon. J’ai alors fait appel à mon vieil ami Carles Simó, professeur à l’université de Barcelone, pour m’aider dans ma quête maladroite. Je ne me doutais pas qu’il m’ouvrirait un horizon totalement nouveau en mathématiques fondamentales.

Cet automne-là, je me suis donc rendu en Espagne pour rencontrer mon collègue, reconnu comme l’un des spécialistes les plus imaginatifs et rigoureux de l’analyse numérique en mécanique céleste. C’est aussi un homme direct qui ne tergiverse pas. Pendant mon premier après-midi dans son bureau, il m’a regardé de ses yeux perçants et m’a demandé : « Pourquoi cette question si abstraite t’intéresse-t-elle, au fond ? » Mon sang n’a fait qu’un tour. Cela faisait près de vingt ans que toute mon activité de recherche y était consacrée ! Si ma question me semblait importante, c’est parce qu’elle est liée à la fois à un problème vieux de plusieurs siècles et à deux domaines majeurs des mathématiques modernes : la topologie et la géométrie riemannienne.

Les origines du problème des trois corps remontent à 1687, lorsqu’Isaac Newton a, le premier, posé et résolu le problème des deux corps dans ses Principia Mathematica. Il s’était demandé : « Comment deux masses se déplaceront-elles dans l’espace si elles ne sont soumises qu’à leur attraction gravitationnelle mutuelle ? » Newton a reformulé cette question en un problème de résolution d’un système d’équations différentielles, des équations qui déterminent le mouvement futur d’un objet à partir de sa position et de sa vitesse actuelles. Il a complètement résolu ces équations pour deux corps. Dans les solutions, ou « orbites » (des trajectoires vérifiant ces équations différentielles), chaque objet décrit une conique – c’est-à-dire un cercle, une ellipse (voir ci-dessous), une parabole ou une hyperbole.

Orbites à deux corps

En identifiant toutes les orbites possibles, Newton a retrouvé et même affiné les « lois de Kepler », des lois empiriques régissant les mouvements des astres, publiées par l’astronome allemand Johannes Kepler en 1609, et qui synthétisaient des décennies d’observations astronomiques de son employeur, Tycho Brahe.

La première loi de Kepler, ou « loi des orbites », stipule que, dans le Système solaire, chaque planète – ou comète – se déplace selon une conique, dont l’un des foyers est le Soleil. Dans les solutions de Newton, cependant, les deux corps – le Soleil et une planète – se déplacent selon deux coniques distinctes. Ces deux coniques ont un foyer en commun : le centre de masse des deux objets. Le Soleil étant bien plus massif que les planètes du Système solaire, le centre de masse d’un système Soleil-planète est contenu dans l’étoile, très près de son centre de masse à elle, et cette dernière oscille à peine autour du centre de masse commun, suivant une petite ellipse.

Si l’on considère trois masses interagissant par la force de gravitation newtonienne au lieu de deux, le problème devient celui des trois corps. Là encore, les orbites sont les solutions d’un système d’équations différentielles. En revanche, il est difficile, voire impossible, d’exhiber des formules explicites pour ces orbites. À ce jour, malgré l’aide des ordinateurs modernes et plusieurs siècles de travail acharné de physiciens et mathématiciens parmi les plus talentueux, on n’a de formules explicites que pour cinq familles d’orbites : trois découvertes par le mathématicien suisse Leonhard Euler en 1767, et deux par son confrère français (d'origine italienne) Joseph-Louis Lagrange en 1772 (voir ci-dessous).

Orbites à trois corps

Et pour cause : en 1890, le mathématicien et physicien français Henri Poincaré a mis en évidence des phénomènes chaotiques dans le problème des trois corps. Les solutions des équations du mouvement sont si sensibles aux conditions initiales qu’on ne les connaîtra jamais toutes exactement, ou même seulement avec un degré de précision donné ; on est donc très loin de la solution simple, unique et exacte de Newton pour le problème des deux corps.

Cependant, par « intégration numérique », un ensemble de techniques d’analyse numérique implémentées avec efficacité sur un ordinateur, on peut tout de même calculer de façon approchée des portions de trajectoire de durée finie, ce qui est d’ailleurs essentiel dans la planification des missions spatiales. En allongeant le temps de calcul alloué à l’ordinateur, il est possible de rendre ces approximations aussi fidèles que voulu, sous réserve de connaître parfaitement les conditions initiales.

Une question sur les suites d’éclipses

C’était donc pour obtenir de l’aide dans ce domaine prometteur que je consultais mon collègue Carles Simó. Sa question m’avait interloqué. Je travaillais en effet depuis plusieurs décennies sur un point bien précis en lien avec le problème des trois corps :

« Toute suite d’éclipses périodique est-elle la suite associée à une certaine solution périodique du problème des trois corps planaire ? »

Je m’explique. Imaginez trois corps – des étoiles ou des planètes, par exemple – se déplaçant dans un même plan et exerçant les uns sur les autres une attraction gravitationnelle. Par la suite, on se placera toujours dans ce cas particulier, dit « planaire ». Numérotez les objets 1, 2 et 3. Leurs masses sont pour l’instant quelconques. Comme les trois objets se déplacent dans un même plan, ils seront de temps en temps alignés (voir ci-dessous). Ces instants ne sont rien d’autre que des éclipses (techniquement, ils sont nommés « syzygies », un mot idéal pour gagner au jeu du pendu). À mesure que le temps s’écoule, enregistrez chaque éclipse qui se produit, en lui donnant le numéro 1, 2 ou 3 selon le numéro de l’astre qui se trouve entre les deux autres. De cette façon, on obtient une suite de 1, 2 et 3, la « suite d’éclipses ».

eclipses

Par exemple, dans une version simplifiée de notre système Soleil-Terre-Lune, la Lune, numérotée 3, tourne autour de la Terre (corps numéroté 2) en un mois (considéré ici comme valant un douzième d’année) tandis que la Terre met un an à faire une révolution autour du Soleil, numéroté 1. Ce mouvement se répète, et donne donc lieu à une suite d’éclipses périodique : 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 3. Cette suite ne contient pas de 1, puisque le Soleil ne se trouve jamais entre la Terre et la Lune. Pour une durée de un an, la suite contient donc 24 nombres, avec un groupe « 2, 3 » pour chacun des 12 mois de l’année.

Dans le cas général, puisqu’il s’agit de systèmes chaotiques, il n’y a aucune raison pour que la suite d’éclipses d’une solution du problème des trois corps soit périodique : elle peut très bien se dérouler éternellement sans exhiber de motif discernable. Cependant, si la solution se répète à l’identique après un certain intervalle de temps, comme dans le système Soleil-Terre-Lune simplifié, alors la suite d’éclipses sera aussi périodique. D’où la question que je m’étais posée : toute suite d’éclipses périodique est-elle la suite associée à une certaine solution périodique du problème des trois corps planaire ? Je soupçonnais que la réponse est « oui », mais je n’arrivais pas à le prouver.

Des objets avec des trous

Carles Simó, pour sa part, était davantage versé dans l’aspect pratique du calcul numérique d’orbites pour les missions spatiales que dans des questions abstraites à propos de suites d’éclipses ; il n’avait donc pas vu l’intérêt de ma question. Pourtant, j’avais l’intuition que, pour y répondre, je pourrais utiliser une approche qu’il connaissait bien, associant trois domaines des mathématiques : la topologie (domaine où l’on étudie les propriétés d’objets que l’on a le droit de déformer, mais pas de déchirer ou trouer), la géométrie riemannienne (qui étudie entre autres les surfaces courbes), et les systèmes dynamiques, relatifs à l’évolution temporelle des systèmes et aux mouvements des objets.

caténoïde

Pourquoi cette intuition ? Parce que ces domaines étaient déjà reliés par d’autres résultats bien connus, dont certains présentent des similarités avec le problème des trois corps. Imaginez une fourmi qui marche sur la surface que les mathématiciens nomment « caténoïde » (voir ci-dessus). L’objectif de la fourmi est de trouver le chemin le plus court pour tourner une fois autour du trou. Du point de vue de la topologie, la caténoïde est identique à un plan (avec deux coordonnées réelles, x et y) « épointé », c’est-à-dire auquel on a retiré un seul point. En effet, retirez un point d’une feuille souple et déformable en caoutchouc. En poussant le bord du trou vers le bas et en l’étirant vers l’extérieur, vous déformerez le plan en une caténoïde (voir ci-dessous). Il a été démontré que, si le trou a été suffisamment élargi, non seulement il existe un chemin de longueur minimale, mais celui-ci satisfait une équation différentielle très similaire à celle du problème des trois corps. Ainsi, notre fourmi a trouvé une solution périodique à une équation différentielle intéressante.

déformations en toplogie

Dans le problème des trois corps, le rôle de la caténoïde est assumé par ce qu’on nomme l’« espace de configuration », un espace dont chaque point encode simultanément la position des trois astres, de sorte qu’une courbe dans l’espace de configuration décrit le mouvement des trois corps. Veiller à ce que les corps n’entrent pas en collision revient ici à faire des trous – retirer des points – dans cet espace de configuration. Comme on le verra, d’un point de vue topologique, l’« espace de configuration sans collision » qui en résulte est identique au plan x-y auquel on a retiré deux points (voir ci-dessous). On note « 12 » le trou représentant la collision des corps 1 et 2, et « 23 » celui représentant la collision des corps 2 et 3, et on place ces trous sur l’axe des abscisses (l’axe des x). On place aussi un troisième trou « à l’infini » (un point abstrait, situé infiniment loin de l’origine dans toutes les directions) pour représenter la collision des corps 1 et 3.

espace de configuration sans collision

Ces trous divisent l’axe des abscisses en trois morceaux, notés 1, 2 et 3 (ces choix sont arbitraires et les rôles des corps 1, 2 et 3 peuvent bien sûr être intervertis). Une courbe dans ce plan x-y doublement épointé représente une trajectoire sans collision des trois corps, et donc une solution potentielle du problème des trois corps ; potentielle seulement, car rien ne garantit pour l’instant que cette trajectoire satisfasse aux lois de la mécanique newtonienne. Quand la courbe coupe l’intervalle 1, cela signifie qu’une éclipse de type 1 se produit (le corps 1 est entre les deux autres), et de même pour les intervalles 2 et 3. De cette façon, une suite d’éclipses représente une manière d’enrouler la courbe autour des trous représentant les collisions.

Notre fourmi voulait minimiser la longueur de son chemin autour du trou sur la caténoïde. Pour compléter l’analogie entre le problème de la fourmi et le problème des trois corps, il faut remplacer la grandeur « longueur du chemin » par une quantité nommée « action » du chemin. On peut définir l’action comme une sorte de moyenne temporelle de la différence entre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle du système, lorsqu’il suit une trajectoire donnée. Mais ce qui nous intéresse ici est d’utiliser cette grandeur pour identifier les trajectoires physiquement acceptables.

Un théorème de mécanique plus que centenaire, le « principe de moindre action », implique en effet que toute courbe dans notre espace de configuration pour laquelle la valeur de l’action est minimale représente une solution au problème des trois corps de Newton. Une piste pour résoudre mon problème d’éclipses consistait donc à rechercher, parmi tous les chemins fermés et sans collision donnant une suite d’éclipses donnée, lesquels avaient une action minimale.

Pendant dix-sept ans, je m’étais intéressé de près à cette stratégie – chercher à minimiser l’action de boucles ayant une suite d’éclipses donnée dans un espace de configuration –, stratégie qui avait offert de jolis résultats. Par exemple, en 2000, Alain Chenciner, de l’université Paris-Diderot, et moi-même avions redécouvert de cette manière ce qui semble être la première solution périodique connue du problème des trois corps avec un moment cinétique nul (le moment cinétique est une mesure de la quantité totale de « rotation » d’un système massif ; elle est constante dans le temps pour une orbite donnée ; les solutions d’Euler et de Lagrange correspondent toutes à un moment cinétique non nul).

solution en forme de 8

Notre solution était une orbite en forme de 8 (voir ci-dessus), découverte originellement en 1993 par Cris Moore, de l’Institut de Santa Fe. Dans cette configuration, trois astres de même masse se déplacent le long d’un 8, dans un plan. La suite d’éclipses associée est 123123…, la séquence 123 se répétant à l’infini. Notre travail a popularisé la figure en 8 et fourni une preuve rigoureuse de l’existence de cette solution. Il a aussi entraîné la découverte successive, tout au long des années 2000, de nombreuses solutions nouvelles du problème de N corps de masses égales, des orbites nommées « chorégraphies » par Carles Simó, lequel a lui-même découvert des centaines de familles de ce type (voir ci-dessous). L’orbite en forme de 8 apparaît même dans un fameux roman de science-fiction de Liu Cixin, publié en 2008, dont le titre a été traduit en Le Problème à trois corps.

orbites à 4 corps

Le lendemain matin du jour où j’avais fait part de mes réflexions à Carles Simó, il m’a dit quelque chose qui m’a profondément affecté : « Richard, j’ai réfléchi à ton problème. Si ce que tu conjectures à propos de ta question est vrai, alors il doit y avoir un mécanisme dynamique sous-jacent. » En d’autres termes, si j’avais raison de penser que la réponse à ma question était « oui », alors cela devait s’expliquer de manière concrète par la façon dont les corps se meuvent, et le mode de recherche plus abstrait que j’avais adopté en travaillant sur l’action n’était pas la démarche adaptée.

Ces quelques mots m’ont fait douter de mes convictions et m’ont poussé à mettre un terme à dix-sept ans de tentatives de répondre à ma question en minimisant l’action. Quels mécanismes dynamiques comprenais-je vraiment dans ce problème ? J’en ai compté deux, dont un seulement me donnait l’espoir d’avancer. Ce mécanisme est lié au chaos découvert par Poincaré et dû à l’extrême sensibilité des solutions aux conditions initiales. Il est relatif au comportement complexe des solutions lorsqu’elles s’approchent – sans l’atteindre – d’une « collision triple » (une collision simultanée des trois corps) dans le problème des trois corps. Cela m’a amené à réfléchir sur d’anciens travaux d’un de mes collègues récents, Rick Moeckel, de l’université du Minnesota.

Dans les années 1980, ce chercheur avait exploré ce mécanisme et montré que l’étude du comportement des solutions au voisinage des collisions triples donnait des résultats intéressants. En relisant ses vieux articles, il m’est apparu que Rick Moeckel avait peut-être la clé de mon problème. J’ai pris contact avec lui et, en quelques jours, nous avons répondu à ma question ! Enfin, presque. Nous avions répondu à une question infiniment proche.

La « sphère des formes », un condensé des mouvements possibles

Pour comprendre le mécanisme dynamique que Rick Moeckel avait étudié et pourquoi l’espace de configuration du problème des trois corps équivaut au plan x-y doublement épointé, comme je l’ai dit plus haut, il est nécessaire d’introduire un objet mathématique nommé la « sphère des formes ». Lorsque les trois corps sont en mouvement dans un plan, ils forment à chaque instant les sommets d’un triangle. Au lieu d’enregistrer la position de chacun des sommets, ne gardons trace, au fil du temps, que de la forme globale du triangle qu’ils dessinent. On obtient une courbe sur la sphère des formes, une sphère où chaque point représente une « forme » de triangle.

Qu’est-ce qu’une « forme » ? Deux figures dans le plan ont la même forme si l’on peut passer de l’une à l’autre par translation, rotation ou dilatation (voir ci-dessous). L’opération consistant à passer d’une configuration possible du problème des trois corps – c’est-à-dire la connaissance de la position des trois sommets du triangle – à un point de la sphère des formes est un processus qui « oublie » la taille du triangle, la position de son centre de gravité et l’orientation du triangle dans le plan.

sphère des formes

Il est facile de comprendre pourquoi l’espace décrivant les formes est de dimension 2 grâce à des faits géométriques élémentaires. La forme d’un triangle, définie comme ci-dessus, est entièrement déterminée par la connaissance de ses trois angles ; mais, comme la somme des mesures des trois angles fait toujours 180 degrés, on n’a en fait besoin que des deux premiers angles parmi les trois. Deux nombres suffisent donc pour caractériser la forme d’un triangle. Le fait que cet espace des formes soit une sphère est plus difficile à comprendre, et nous ne le justifierons pas ici.

Comment décrit-on l’ensemble des formes de triangles sur une telle sphère ? Cela requiert que l’on permette aux triangles d’être « dégénérés », c’est-à-dire d’avoir leurs trois « sommets » alignés. En prenant en compte tous les rapports de distances possibles entre les trois « sommets », on dessine exactement l’équateur de la sphère des formes. Ces triangles dégénérés, qui sont d’aire nulle, représentent les éclipses. Parmi eux figurent notamment les collisions de deux corps, ou « collisions binaires » : en effet, un triangle dont deux sommets sont confondus est automatiquement dégénéré. La sphère des formes compte ainsi exactement trois triangles de collision binaire, notés 12, 13 et 23 selon les sommets confondus (voir ci-dessous).

sphère des formes 1

On retrouve les triangles non dégénérés sur le reste de la sphère des formes, en dehors de l’équateur. Chacun de ces triangles correspond à un point de la sphère, à une certaine distance de l’équateur le long de la sphère. Cette distance est elle-même donnée par le rapport A/r2 où A est l’aire du triangle et r sa taille (ce rapport est donc une aire normalisée de façon que des triangles de tailles différentes soient comparables). Ici, la « taille » d’un triangle est une mesure géométrique unidimensionnelle de sa grandeur, contrairement à l’aire. Ainsi, aucun des triangles représentés par la sphère des formes n’est de taille nulle, car aucun n’est réduit à un point. Les pôles nord et sud de la sphère, situés à distance maximale de l’équateur, représentent donc les triangles d’aire maximale (pour une taille donnée) et sont par conséquent équilatéraux.

Mais pourquoi y en a-t-il deux ? Parce que l’ordre de leurs sommets diffère (voir l'encadré « Formes » ci-dessus). Il n’y a aucun moyen de passer de l’un de ces triangles équilatéraux à l’autre par translation, rotation et dilatation : ils représentent véritablement des formes différentes. En revanche, une réflexion (une symétrie miroir par rapport à n’importe quel plan dans l’espace) fait passer d’un triangle à l’autre. Cette opération de réflexion agit sur tous les triangles – et donc sur les points de la sphère des formes – par symétrie par rapport à l’équateur, en laissant fixes les points de l’équateur (qui représentent les triangles dégénérés) et en échangeant les hémisphères nord et sud.

Je peux maintenant vous expliquer comment la sphère des formes montre que l’ensemble des configurations du problème des trois corps est bien topologiquement identique au plan x-y doublement épointé. Pour cela, il nous faut montrer qu’une sphère privée d’un point est assimilable au plan x-y classique. Une manière de le comprendre est d’utiliser la projection stéréographique, qui projette une sphère privée d’un seul point (qui fait office de « source de lumière ») sur le plan x-y usuel. Chaque point de la sphère épointée est projeté sur le plan x-y par la droite qui relie ce point à la source de lumière (voir ci-dessous). Si l’on considère des points de la sphère de plus en plus proches de la source de lumière, leur point image par la projection stéréographique sur le plan s’échappe à l’infini ; on peut donc aussi dire que le plan x-y auquel on a ajouté un point à l’infini est topologiquement identique à une sphère (source de lumière incluse).

projection stéréographique

Une question se pose cependant : quel point choisir comme source de lumière ? Une possibilité assez naturelle est de choisir le pôle nord, mais il y a plus judicieux pour notre problème : si l’on prend plutôt comme source de lumière le point de collision 13, en faisant basculer toute la sphère pour que ce point soit au « sommet » de la sphère – à l’emplacement originel de son pôle nord –, le point à l’infini du plan x-y correspond maintenant, par la projection stéréographique, à ce point 13. Et si l’on oriente de plus la sphère pour que son plan équatorial contienne l’axe des x du plan x-y, la projection stéréographique met en correspondance l’équateur de la sphère, contenant les triangles dégénérés, et l’axe des x du plan ; de plus, les deux autres points de collision (12 et 23) sont envoyés sur deux points distincts sur l’axe des x. Il ne reste plus qu’à retirer les deux points de collision sur la sphère en même temps que leur image dans le plan, et l’on obtient l’équivalence recherchée entre l’ensemble des configurations du problème des trois corps et le plan x-y doublement épointé.

Les points de collision binaire sont trois points spéciaux sur la sphère des formes. En dehors de ces trois points, il existe cinq autres points spéciaux sur la sphère des formes, nommés « configurations centrales » (voir ci-dessous). Ces cinq configurations centrales correspondent aux cinq familles de solutions découvertes par Euler et Lagrange, qui sont d’ailleurs les seules solutions pour lesquelles la forme du triangle est constante. Dans les solutions de Lagrange, le triangle est équilatéral à tout instant. Comme on l’a vu, elles sont au nombre de deux ; elles constituent les pôles nord et sud de la sphère des formes et on les nomme « point de Lagrange 4 » et « point de Lagrange 5 ».

sphère des formes

Les trois autres configurations spéciales sont les « configurations d’Euler », nommées « point d’Euler 1 », « point d’Euler 2 » et « point d’Euler 3 ». Ce sont des configurations dégénérées où les trois masses sont alignées ; elles sont donc situées sur l’équateur de la sphère des formes. Plus précisément, elles sont disposées entre les trois points de collision (voir ci-dessous) ; leur distance aux points de collision sur l’équateur dépend d’ailleurs des rapports de masse entre les trois corps. Le point d’Euler 1, par exemple, est situé sur l’arc de l’équateur noté 1, comme toute configuration dans laquelle le corps 1 est situé entre les corps 2 et 3. (Souvent, les cinq configurations centrales sont toutes nommées points de Lagrange, celles d’Euler étant notées « L1 », « L2 » et « L3 ». Dans la suite, nous noterons ces cinq configurations « E1 », « E2 », « E3 », « L4 » et « L5 ».)

points de collision binaire et éclipse

Une autre manière de comprendre les cinq configurations centrales est d’imaginer ce qui se passe lorsqu’on dispose les trois corps dans l’espace, sans vitesse initiale, et qu’on laisse évoluer le système à partir de ces conditions. Dans le cas général, toutes sortes de choses se produisent alors : des collisions binaires, des ballets déchaînés, et, parfois, un corps qui s’échappe à l’infini. Mais lorsqu’on dispose les corps selon l’une des configurations centrales, le triangle qu’ils déterminent garde la même forme à tout instant et rétrécit simplement jusqu’à se réduire à un point, les corps s’attirant les uns les autres jusqu’à ce que la solution se termine en une collision simultanée des trois corps – une collision triple.

Ces cinq configurations centrales correspondent donc à des positionnements des trois corps tels que, si ces derniers sont lâchés sans vitesse, ils entrent en collision triple sans déformation du triangle qu’ils forment. Cependant, s’ils ont des vitesses initiales non nulles bien choisies, on retrouve les orbites décrites par Euler ou Lagrange (d’où le nom des configurations centrales sur la sphère des formes). Avec des vitesses quelconques, en revanche, le comportement du système est chaotique et donne toutes sortes de trajectoires, bien que les positions de départ aient formé un triangle équilatéral.

Les cinq chemins vers la collision triple

La collision triple est une singularité essentielle du problème des trois corps, tel un « Big Bang » au cœur du problème. Elle est à l’origine d’une grande partie du chaos qu’il contient et de la difficulté à le résoudre. Au début du XXe siècle, le mathématicien finnois Karl Sundman a démontré que les cinq configurations centrales où les trois corps sont initialement immobiles sont les seuls chemins vers la collision triple. Cela signifie plus généralement que toute solution qui finit en collision triple doit s’approcher de cette collision d’une manière similaire à l’une des configurations centrales : la forme du triangle de la solution doit s’approcher infiniment près de la forme du triangle de cette configuration centrale. Les configurations centrales sont donc en quelque sorte « universelles », en ce sens qu’elles correspondent aux cinq seules formes possibles d’une solution s’approchant d’une collision triple.

Le travail de Sundman était une prouesse faisant dialoguer de manière complexe l’algèbre et l’analyse. Plus tard, l’année où j’ai terminé mon lycée (je n’avais alors jamais entendu parler du problème des trois corps), le mathématicien américain Richard McGehee a inventé une méthode dite « de l’éclatement », qui permettait de mieux comprendre visuellement le travail de Sundman et d’étudier en détail la dynamique du système près de la collision triple.

La taille du triangle, r, représente aussi la distance d’une configuration à la collision triple. Lorsque r tend vers zéro et que l’on se rapproche de la collision triple, le comportement des équations newtoniennes du mouvement devient pathologique, avec des termes qui tendent vers l’infini. Richard McGehee a trouvé un changement de variables, impliquant l’espace de configuration et la variable de temps, qui diminue la vitesse d’approche vers la collision triple et remplace le point de collision triple, correspondant à r = 0, par un nouvel ensemble de points, nommé la « variété de collision ». Surprise : la variété de collision est essentiellement une copie de la sphère des formes ! La méthode de Richard McGehee permet en substance d’étendre les équations du mouvement, au départ valides seulement pour r > 0, en un système d’équations différentielles qui garde son sens lorsque r = 0.

Les équations du mouvement n’ont pas de point d’équilibre, ce qui signifie qu’il n’y a pas de configuration dans laquelle les trois corps restent au repos : trois étoiles dans l’espace, qui s’attirent les unes les autres, ne peuvent pas juste rester là où elles sont sans bouger. Mais lorsqu’on étend les équations du mouvement à la variété de collision, des points d’équilibre apparaissent. Il y en a exactement dix : deux pour chacune des cinq configurations centrales de la sphère des formes. L’un des deux éléments de chaque paire représente l’état final d’une configuration centrale « lâchée » avec une vitesse initiale nulle et qui se termine en collision triple.

Pour comprendre ce que représente l’autre élément, il faut imaginer que l’on regarde le film de cette collision triple à l’envers. Comme les équations newtoniennes du mouvement sont les mêmes lorsque le temps s’écoule à l’envers – on dit qu’elles sont « réversibles » –, il est possible de faire se dérouler une solution en remontant le temps. On obtient ainsi une autre solution. Lorsque l’on renverse de cette façon le déroulement d’une configuration centrale « lâchée » avec une vitesse initiale nulle, qui « implose » en une collision triple, on obtient une solution qui « explose » en partant de cette collision triple, atteignant une taille maximale qui n’est autre que la configuration centrale considérée, l’état initial du « lâcher ». L’autre élément de la paire représente donc la configuration initiale de cette solution « explosive » – on parle d’« éjection » –, à l’instant (inexistant dans la réalité physique) où les trois corps sont encore « collés » en un même point.

Ensemble, ces deux solutions liées à une configuration centrale – éjection et collision – se recollent bien et forment une solution d’éjection-collision unique qui quitte le point d’équilibre r = 0 pour entrer dans le domaine où r > 0, où elle atteint sa taille maximale, avant de rapetisser sous l’effet de la gravité pour revenir au point de collision triple correspondant dans la variété de collision. Cette solution complète relie l’un à l’autre les deux éléments d’une paire.

En créant ces points d’équilibre associés aux configurations centrales, au cœur du problème des trois corps, Richard McGehee a donné à Rick Moeckel les clés pour appliquer avantageusement des résultats récents sur les systèmes dynamiques – des résultats inconnus de Newton, Lagrange ou Sundman – au problème des trois corps. Et c’était cette approche dynamique qui m’était revenue à l’esprit après les paroles de Carles Simó et qui m’avait conduit à contacter Rick Moeckel.

Le chemin de Moeckel

En effet, en explorant les articles que Rick Moeckel avait publiés sur le sujet dans les années 1980, j’avais remarqué le schéma d’un graphe à cinq sommets, correspondant aux cinq configurations centrales, et reliés par des arêtes (voir ci-dessous).

graphe de Moeckel

Un « chemin » sur un graphe est un parcours qui va de sommet en sommet, en passant par les arêtes reliant ces sommets. Rick Moeckel avait démontré que, si l’on suppose les masses des trois corps suffisamment proches, tout chemin sur ce graphe correspond à une solution du problème des trois corps qui s’approche tour à tour des configurations centrales associées à chaque sommet que le chemin visite.

Par exemple, au chemin E1-L4-E2-L5 correspond une solution qui commence par une éjection très près de la solution d’éjection-collision associée au point d’Euler 1 – les trois astres sont alors presque alignés, comme dans E1 –, grandit jusqu’à un maximum, s’approche ensuite de la phase de collision de la solution associée au point de Lagrange 4, formant presque un triangle équilatéral parfait ; mais, au lieu de réaliser exactement cette collision triple, les corps s’éloignent de nouveau en une seconde éjection en triangle équilatéral proche de la phase d’éjection associée au point de Lagrange 4. S’ensuivent une quasi-collision proche de celle, alignée, associée au point d’Euler 2, une éjection quasi alignée toujours liée à E2, pour finir très proche de la collision triple en triangle équilatéral associée au point de Lagrange 5. De plus, si on répète le même chemin sur le graphe de manière périodique, alors il existera une solution correspondante qui sera elle-même périodique.

Peu de temps après que Carles Simó m’a suggéré l’existence d’un mécanisme dynamique, je me suis rendu compte que l’on pouvait plonger le graphe de Moeckel dans la sphère des formes (voir ci-dessous). La propriété cruciale de ce graphe inclus dans la sphère est qu’il contient toute la structure topologique de la sphère privée de ses trois points de collision binaire. En effet, on peut déformer la sphère triplement épointée pour la transformer en ce graphe, ce qui transforme en même temps toute courbe fermée (revenant à son point de départ) sur la sphère épointée en un chemin fermé (revenant à son sommet de départ) sur le graphe.

graphe de moeckel plongé

Pour visualiser cette déformation, imaginons que la sphère soit la surface d’un ballon. Avec une aiguille, faisons trois trous dedans – ce qui revient à retirer des points de la surface –, un pour chaque point de collision binaire. Le ballon étant fait d’un matériau infiniment souple et déformable, on peut étirer les trois trous pour les élargir jusqu’à ce que les bords des trois trous se touchent presque et que le matériau restant forme de fins cordons juste autour des arêtes du graphe de Moeckel. En effectuant cette déformation, toute courbe fermée sur la sphère épointée est déformée en une courbe fermée sur ces cordons, et finalement en un chemin fermé sur le graphe de Moeckel.

Pour obtenir, à partir de ce processus, un véritable théorème à propos des suites d’éclipses et des solutions du problème des trois corps, je devais prouver que les solutions données par le théorème de Moeckel, vues sur la sphère des formes, ne s’éloignent jamais beaucoup du graphe de Moeckel. En effet, si elles s’en éloignaient, elles pourraient s’enrouler autour des points de collision binaire ou même en rencontrer un, ce qui aurait pour effet d’ajouter ou de supprimer des boucles, et donc de modifier la suite d’éclipses. J’ai donc envoyé un courriel à Rick Moeckel pour lui demander son aide.

Il m’a répondu : « Tu veux me forcer à relire des articles que j’ai écrits il y a plus de vingt ans ? » Il s’est néanmoins replongé dans ses anciens travaux et a démontré que les solutions garanties par son théorème ne s’éloignent jamais trop du graphe dans la sphère des formes. Ma question, dans le cas où les masses des corps sont assez proches, était donc résolue – ou presque.

Presque, car Rick Moeckel avait eu besoin d’un petit peu de moment cinétique pour faire fonctionner sa démonstration. À l’inverse, pendant les dix-sept ans de recherches qui avaient précédé ma conversation avec Carles Simó, je ne m’étais intéressé qu’à des solutions de moment cinétique nul. Cela s’expliquait par le fait que les solutions correspondant à des courbes dans l’espace de configuration qui minimisent l’action, c’est-à-dire celles que j’étudiais, ont forcément un moment cinétique nul. Toujours est-il que Rick Moeckel avait besoin que le moment cinétique soit petit, mais non nul, pour que les solutions restent bien près du graphe dans la sphère des formes. Intuitivement, ce moment cinétique non nul est nécessaire pour que ces solutions puissent s’approcher des configurations d’Euler ou de Lagrange, puisque ces dernières ont un moment cinétique non nul (les corps y tournent dans le « même sens ») et que cette grandeur est constante.

Il restait une autre difficulté dans le résultat de Rick Moeckel : ses solutions, lorsqu’elles croisaient l’équateur de la sphère des formes près des points d’Euler E1, E2 ou E3, oscillaient de part et d’autre de l’équateur plusieurs fois avant de finir par s’en éloigner pour rejoindre l’un des points de Lagrange aux pôles. Pour prendre en compte ces oscillations, je dois introduire ici une nouvelle notion : si N est un entier strictement positif, on dit qu’une suite est « N-longue » lorsque, chaque fois qu’un nombre apparaît dans la suite, il est présent au moins N fois d’affilée. Par exemple, la suite 111222233333222 est 3-longue, mais pas 4-longue, puisqu’il n’y a que trois « 1 » d’affilée.

Voici donc le théorème final auquel nous avions abouti avec Rick Moeckel. Considérons le problème des trois corps avec un petit moment cinétique non nul et des masses proches. Alors il existe un grand entier naturel N vérifiant la propriété suivante : pour n’importe quelle suite d’éclipses N-longue, il existe une solution correspondante du problème des trois corps ayant exactement cette suite d’éclipses. Et si la suite est périodique, alors il existe même une solution périodique qui réalise cette suite d’éclipses.

Et ma question originelle ? Aucun entier N n’y apparaissait, et j’y recherchais un résultat valide pour toute suite d’éclipses… On était assez loin du compte ! En fait, je ne vous ai pas donné ma vraie question. Ce que je voulais vraiment savoir, c’était si l’on pouvait réaliser n’importe quel « type topologique » de courbe périodique, et non toute suite d’éclipses (on peut définir intuitivement le type topologique comme le « motif d’enroulement » de la courbe autour des trous). J’utilisais la suite d’éclipses comme un raccourci pour cette autre notion, en encodant le type topologique dans la suite d’éclipses.

Mais cette représentation d’un type topologique au moyen de sa suite d’éclipses est redondante : beaucoup de suites d’éclipses différentes encodent le même type topologique. Considérons, par exemple, le type topologique « tourner une fois dans le sens antihoraire autour du point 23 ». La suite d’éclipses 23 représente ce type topologique. Mais c’est aussi le cas des suites 2223, 222223 ou 2333. En effet, chaque fois que l’on traverse deux fois d’affilée l’arc 2, on peut « oublier » ces deux traversées en déformant les méandres, pour faire en sorte que la courbe traverse l’arc deux fois de moins (voir ci-dessous). De cette façon, on supprime toute paire consécutive du même nombre apparaissant dans une suite d’éclipses sans changer le type topologique de la courbe représentée par cette suite. Cette simplification des suites d’éclipses n’a pas de sens physique, car certaines solutions – qui ont donc une réalité physique – ont des suites d’éclipses présentant des répétitions.

suite d'éclipses

Pour répondre maintenant à ma question grâce à notre théorème principal, remarquons qu’en supprimant une à une les paires de nombres égaux consécutifs, on obtient une suite d’éclipses associée au même type topologique de courbe et qui n’a jamais deux nombres égaux consécutifs : elle ne contient pas les motifs 11, 22 ou 33. Nommons une telle suite une « suite admissible ». Considérons alors une suite admissible, par exemple 123232. Choisissons un nombre entier impair n supérieur ou égal à l’entier N de notre théorème, et remplaçons la suite admissible par la suite 1n2n3n2n3n2n, prolongée périodiquement, où les exposants signifient ici que l’on répète le nombre, par exemple : 13 = 111. Par construction, cette suite représente le même type topologique que la suite admissible, car n est impair. Notre théorème nous assure que cette nouvelle suite d’éclipses est réalisée par une solution périodique. Cette solution périodique ayant le même type topologique que la suite de départ, on a montré que la réponse à ma question à propos des types topologiques était « oui ».

Quelles perspectives ?

Il reste encore beaucoup à faire. Quand j’ai posé ma question à propos des types topologiques, il y a vingt ans, je ne m’intéressais qu’à des solutions de moment cinétique nul ; or de plus en plus d’indices liés à des travaux menés ces dernières années suggèrent que la réponse à ma question de départ est « non » en cas de moment cinétique nul. Par exemple, on a des raisons de penser que même le type topologique de la suite périodique non vide la plus simple, 23, n’est jamais réalisé par une solution périodique du problème des trois corps avec des masses toutes égales et à moment cinétique nul.

Quant à la version de la question formulée en termes de suites d’éclipses et non de types topologiques, elle reste encore sans réponse, même pour des moments cinétiques non nuls, puisque le théorème ne permet de réaliser que des suites d’éclipses N-longues pour un certain entier N suffisamment grand. Par exemple, nous ne savons absolument pas comment réaliser des suites admissibles.

En fin de compte, nous n’avons peut-être pas beaucoup avancé dans la résolution complète du problème des trois corps, mais, en chemin, nous avons beaucoup appris. Nous allons continuer à chercher, et ce problème sera probablement encore fructueux pour ceux qui s’y intéresseront. Car manifestement, cette énigme classique de l’histoire des mathématiques n’a pas fini de nous étonner.