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Die '''Formale Begriffsanalyse''' (abgekürzt '''FBA''') (englisch '''Formal Concept Analysis''', abgekürzt '''FCA'''), ist eine mathematische Theorie. Sie liefert eine [[Methodik]], um Zusammenhänge in gegebenen Datenmengen zu erkennen. Typisch dafür sind hierarchische Beziehungen zwischen [[Begriff]]en. Die Formale Begriffsanalyse kann als  angewandte [[Ordnungsrelation|Ordnungs-]] und [[Verbandstheorie]] verstanden werden.<ref>{{Literatur |Autor=Rudolf Wille|Titel= Restructuring Lattice Theory: An Approach Based on Hierarchies of Concepts |Hrsg=I.Rival|Sammelwerk= Ordered Sets: Proceedings of the NATO Advanced Study Institute Held at Banff, Canada |Datum=1982}}</ref>

Die formale Begriffsanalyse findet praktische Anwendung z. B. in [[Data-Mining|Data-]] und [[Text Mining]], [[Wissensmanagement]], [[Semantic Web]], [[Softwaretechnik|Software Engineering]], [[Wirtschaft]] und [[Bioinformatik]].<ref>Siehe Abschnitt [[#Anwendungserfahrungen mit der Formalen Begriffsanalyse]] für Beispiele</ref>

== Einführung ==
Die ''Formale Begriffsanalyse'' untersucht Zusammenhänge in Datensammlungen und macht Strukturen in den Daten deutlich. Dabei werden ''Gegenstände'' (z. B. beschrieben durch Datensätze) aufgrund gemeinsamer Merkmale zu Gruppen zusammengefasst. Innerhalb solcher Gruppen wird dann aufgrund weiterer Merkmale weiter unterteilt. Daraus ergibt sich eine hierarchische Struktur, die in Form eines netzartigen [[Hasse-Diagramm|Ordnungsdiagramms]] veranschaulicht werden kann. Ziel ist eine mathematisch fundierte Methodik, die dem begrifflichen Denken des Menschen entgegen kommt.

=== Umfang, Inhalt und Begriff ===
Jede durch gemeinsame Merkmale bestimmte Menge von Gegenständen wird als ein ''Begriffsumfang'' gedeutet, die zugehörige Menge aller gemeinsamen Merkmale als ''Begriffsinhalt''. Beide Teile zusammen, also jeweils ein Umfang und der zugehörige Inhalt, bilden einen ''formalen Begriff'', wobei der Zusatz „formal“ darauf hinweist, dass es sich um eine mathematische Konstruktion handelt. Ein formaler Begriff ist also immer sowohl durch seinen Umfang als auch durch seinen Inhalt eindeutig bestimmt.

=== Ober- und Unterbegriff ===
Ein formaler Begriff ist ein ''[[Hyponymie|Unterbegriff]]'' eines zweiten formalen Begriffs, wenn sein Umfang ganz im Umfang des zweiten enthalten ist. Dann ist der Inhalt des ''[[Oberbegriff]]s'' (also des Begriffs mit dem größeren Umfang) im Inhalt des Unterbegriffs enthalten.<ref>Ein ''Unterbegriff'' ergibt sich, wenn ein formaler Begriff durch zusätzliche Merkmale weiter spezifiziert ist. Daraus ergibt sich, dass die Gegenstände, die zum Unterbegriff gehören auch zum Oberbegriff gehören. Umgekehrt sind alle Merkmale des Oberbegriffs auch Merkmale des Unterbegriffs.</ref>

=== Bezug zur mathematischen Verbandstheorie ===
Diese Unterbegriff-Oberbegriff-Ordnung der formalen Begriffe erweist sich als eine [[Ordnungsrelation|Ordnungsstruktur]]. Sie ist in aller Regel netzartig verzweigt, also gewöhnlich nicht [[Baum (Graphentheorie)|baumartig]] oder gar linear. Es kann aber bewiesen werden, dass diese Ordnungen besondere und gut untersuchte Eigenschaften haben: Es handelt sich dabei stets um sogenannte ''[[Verband (Mathematik)|vollständige Verbände]]'' (engl.: complete lattices).

Ein Begriff kann mehrere Oberbegriffe haben, z. B. vereinigt der Begriff ''Greifvogel'' die Merkmale sowohl von seinem Oberbegriff ''Vogel'' als auch die seines zweiten Oberbegriffs ''Beutegreifer''.

=== Entstehung ===
Die Theorie in ihrer heutigen Form geht zurück auf die Darmstädter Forschungsgruppe um [[Rudolf Wille (Mathematiker)|Rudolf Wille]], [[Bernhard Ganter]] und [[Peter Burmeister]], in der Anfang der 1980er Jahre die Formale Begriffsanalyse entstand. Die mathematischen Grundlagen wurden jedoch bereits von [[Garrett Birkhoff]] in den 1930er Jahren im Rahmen der allgemeinen [[Verbandstheorie]] geschaffen. Vor den Arbeiten der Darmstädter Gruppe gab es bereits Ansätze in verschiedenen französischen Gruppen. Einfluss auf die Entstehung der Formalen Begriffsanalyse hatten Schriften von [[Charles S. Peirce]] und [[Hartmut von Hentig]].

== Motivation und philosophischer Hintergrund ==
Im Artikel ''Restructuring Lattice Theory'' (1982), der die Formale Begriffsanalyse als Disziplin begründete, wird als Motivation das Unbehagen an der Verbandstheorie und der Reinen Mathematik allgemein genannt: Die oft durch „geistigen Hochleistungssport“ erreichte Produktion theoretischer Resultate sei beeindruckend, die Verknüpfungen zwischen benachbarten Gebieten und sogar Teilen einer Theorie würden jedoch schwächer.

{{Zitat | Text=Die Restrukturierung der Verbandstheorie ist ein Versuch, Verbindungen zu unserer allgemeinen Kultur wieder zu verstärken, indem die Theorie so konkret wie möglich interpretiert und dadurch eine bessere Kommunikation zwischen Verbandstheoretikern und potentiellen Anwendern der Verbandstheorie gefördert wird. | Autor=Rudolf Wille | Quelle=Restructuring lattice theory: An approach based on hierarchies of concepts | ref=<ref name="restructuring">Rudolf Wille: ''[http://books.google.de/books?hl=de&lr=&id=gwpq0acO3kgC&oi=fnd&pg=PA314&dq=Wille+Restructuring+Lattice+Theory&ots=zYmNQeCJKb&sig=TyDygU5lU_91iJWIuJbNi2or6Ls#v=onepage&q=Wille%20Restructuring%20Lattice%20Theory&f=false Restructuring lattice theory: An approach based on hierarchies of concepts.]'' Nachdruck in: ICFCA '09: Proceedings of the 7th International Conference on Formal Concept Analysis, Berlin, Heidelberg, 2009, S. 314. „geistiger Hochleistungssport“: „elaborate mental gymnastics“.</ref>}}

Dieses Ziel bezieht sich auf Hartmut von Hentig, der 1972 eine Restrukturierung der Wissenschaften forderte, „um sie besser lernbar, gegenseitig verfügbar und allgemeiner (d.h. jenseits der Fachkompetenz) kritisierbar zu machen.“<ref>{{Literatur |Autor=Hartmut von Hentig |Titel=Magier oder Magister? Über die Einheit der Wissenschaft im Verständigungsprozeß |Auflage=1. |Verlag=Suhrkamp-Taschenbuch-Verlag |Ort=Frankfurt am Main |Datum=1974 |ISBN=3-518-06707-9}} Zitiert nach {{Literatur |Autor=Karl Erich Wolff |Titel=Ordnung, Wille und Begriff |Verlag=Ernst Schröder Zentrum für Begriffliche Wissensverarbeitung |Ort=Darmstadt |Datum=2003 |Online=[http://www.fbmn.h-da.de/~wolff/Publikationen/Ordnung_Wille_und_Begriff.doc fbmn.h-da.de] |Format=MS Word |KBytes=2000}} {{Webarchiv|url=http://www.fbmn.h-da.de/~wolff/Publikationen/Ordnung_Wille_und_Begriff.doc |wayback=20150912015734 |text=fbmn.h-da.de |archiv-bot=2018-11-30 19:51:38 InternetArchiveBot }}</ref> Somit zielt auch Formale Begriffsanalyse von ihren Ursprüngen her auf Interdisziplinarität und demokratische Kontrolle von Forschung.<ref name="AttrExGeneRegProc">{{Internetquelle |autor=Johannes Wollbold |url=http://www.db-thueringen.de/servlets/DerivateServlet/Derivate-24615/Wollbold/Dissertation.pdf |titel=Attribute Exploration of Gene Regulatory Processes |titelerg=Doktorarbeit, Universität Jena 2011 |hrsg=Digitale Bibliothek Thüringen |seiten=9 |zugriff=2015-11-14 |format=PDF; 4,6 MB |sprache=en}}</ref>

Während ein Begriff in der [[Formale Logik|Formalen Logik]] als einstelliges [[Prädikat (Logik)|Prädikat]] auf seinen Umfang reduziert wird, macht die Formale Begriffsanalyse durch Berücksichtigung auch des Begriffsinhalts die Begriffslehre wieder weniger abstrakt.<ref name="restructuring" /> Damit orientiert sich die Formale Begriffsanalyse an den Kategorien [[Extension und Intension]] der [[Linguistik]] und der klassischen [[Begriffslogik]].

Klarheit von Begriffen wird im Sinn von Charles S. Peirce's [[Pragmatische Maxime#Von der Klarheit der Gedanken|Pragmatischer Maxime]] dadurch angestrebt, dass beobachtbare, elementare Eigenschaften der [[Subsumption|subsumierten]] Gegenstände entfaltet werden.<ref name="AttrExGeneRegProc" /> In seiner Spätphilosophie ging Peirce davon aus, dass logisches Denken auf das Erfassen von [[Wirklichkeit]] zielt, durch den Dreischritt Begriff, [[Urteil (Logik)|Urteil]] und [[Syllogismus|Schluss]]. Mathematik abstrahiert logisches Denken, entwickelt Formen [[Möglichkeit|möglicher]] Realität und kann daher [[Kommunikative Vernunft#Kommunikative Rationalität|rationale Kommunikation]] unterstützen. Rudolf Wille definiert vor diesem Hintergrund:
{{Zitat | Text=Ziel und Bedeutung Formaler Begriffsanalyse als mathematische Theorie von Begriffen und Begriffshierarchien ist es, die rationale Kommunikation von Menschen zu unterstützen, indem sie mathematisch geeignete Begriffsstrukturen entwickelt, die logisch aktiviert werden können. | Autor=Rudolf Wille | Quelle=Formal Concept Analysis as Mathematical Theory of Concepts and Concept Hierarchies | ref=<ref>Rudolf Wille: [http://books.google.de/books?hl=de&lr=&id=nEh4D4e88NwC&oi=fnd&pg=PA1&dq=Formal+Concept+Analysis+Fondations+and+Applications&ots=GSCkikE8pv&sig=8TJOPrSW07sJqLH0hF8_-HH_gb4#v=onepage&q=Formal%20Concept%20Analysis%20Fondations%20and%20Applications&f=false Formal Concept Analysis as Mathematical Theory of Concepts and Concept Hierarchies]. In: B. Ganter et al.: ''Formal Concept Analysis. Foundations and Applications'', 2005, S. 1f.</ref>}}

Eine Vergleichbare Motivation lag jedoch historisch früher den Projekten zur Entwicklung analytischer Plansprachen zu Grunde, vgl. auch [[Universalsprache]].

== Beispiel ==
Zur Erläuterung der Grundlagen der Formalen Begriffsanalyse dient folgendes bewusst klein gehaltene Beispiel. Es ist Teil einer umfangreicheren Wortfeldstudie, in der [[Gewässer]] anhand von Merkmalen in eine Systematik gebracht wurden.<ref>{{Literatur |Autor=Peter Rolf Lutzeier |Titel=Wort und Feld: wortsemantische Fragestellungen mit besonderer Berücksichtigung des Wortfeldbegriffes |TitelErg=Dissertation |Reihe=Linguistische Arbeiten |BandReihe=103 |Verlag=Niemeyer |Ort=Tübingen |Datum=1981 |DOI=10.1515/9783111678726.fm |OCLC=8205166}}</ref> Für die hiesigen Zwecke wurde das dort behandelte Beispiel etwas reduziert.

Im Folgenden wird außer der Tabelle auch schon die daraus konstruierbare Grafik, das ''Liniendiagramm'', gezeigt.

{| class="wikitable" style="text-align: center; margin-right: 2em; float: left;font-size: 85%"
|+ Beispiel für einen formalen Kontext: „Gewässer“
|-
! rowspan="2" colspan="2"| Gewässer !! colspan="8" | Merkmale
|-
! ''temporär'' !! ''fließend'' !! ''natürlich'' !! ''stehend'' !! ''konstant'' !! ''maritim''
|-
! rowspan="15"| G<br />e<br />g<br />e<br />n<br />s<br />t<br />ä<br />n<br />d<br />e
| style="text-align:left" | '''[[Bach]]''' || || X || X || || X ||
|-
| style="text-align:left" | '''[[Fluss]]''' || || X || X || || X ||
|-
| style="text-align:left" | '''[[Haff]]''' || || || X || X || X || X
|-
| style="text-align:left" | '''[[Kanal (Wasserbau)|Kanal]]''' || || X || || || X ||
|-
| style="text-align:left" | '''[[Pfütze|Lache]]''' || X || || X || X || ||
|-
| style="text-align:left" | '''[[Stillgewässer|Pfuhl]]''' || || || X || X || X ||
|-
| style="text-align:left" | '''[[Pfütze]]''' || X || || X || X || ||
|-
| style="text-align:left" | '''[[Rinnsal]]''' || || X || X || || X ||
|-
| style="text-align:left" | '''[[Strom (Gewässerart)|Strom]]''' || || X || X || || X ||
|-
| style="text-align:left" | '''[[Maar]]''' || || || X || X || X ||
|-
| style="text-align:left" | '''[[Meer]]''' || || || X || X || X || X
|-
| style="text-align:left" | '''[[See]]''' || || || X || X || X ||
|-
| style="text-align:left" | '''[[Teich]]''' || || || X || X || X ||
|-
| style="text-align:left" | '''[[Tümpel]]''' || || || X || X || X ||
|-
| style="text-align:left" | '''[[Weiher (Gewässer)|Weiher]]''' || || || || X || X ||
|-
|}

  <!-- Um die Grafik halbwegs auf die Gleiche Höhe zu bekommen, wie die Tabelle -->
[[Datei:FBA Gewässer 2 30.svg|mini|Liniendiagramm entsprechend der Tabelle ''Gewässer'' auf der linken Seite.]]
{{Absatz}}

=== Ausgangsdaten in Tabellenform ===
Für eine Analyse müssen die zu untersuchenden Daten in Tabellenform vorliegen oder in eine solche Form überführt werden.

In der Tabelle ''Beispiel für einen formalen Kontext: „Gewässer“'' sind verschiedene Gewässerarten als ''formale Gegenstände'' in Zeilen aufgelistet. Die dazugehörigen ''formalen Merkmale'' bestimmen die Spalten dieser Tabelle.

Weist ein Gegenstand ein bestimmtes Merkmal auf, dann steht am Kreuzungspunkt in der jeweiligen Zeile und Spalte eine Markierung, meist ein „X“. Weist er dieses Merkmal nicht auf oder ist unklar, ob er dieses Merkmal aufweist, dann fehlt diese Markierung.

=== Reale Welt und formale Strukturen ===
Will man den Unterschied zwischen realen Gegenständen und Merkmalen einerseits und ihren Abstraktionen (den Daten in der Tabelle) andererseits betonen, spricht man bei den Abstraktionen von ''formalen Gegenständen'' und ''formalen Merkmalen''. Analog spricht man bei der Gesamtheit der ganzen Tabelle von einem ''formalen Kontext''. Später werden ''formale Begriffe'' noch genauer eingeführt.

Häufig entsprechen die ''formalen Gegenstände'' realen Gegenständen der Welt und die ''formalen Merkmale'' deren realen qualitativen oder quantitativen Eigenschaften. Ein formaler Gegenstand kann aber auch ein Abstraktum darstellen – wie die Gewässerarten in obigem Beispiel. Ebenso kann ein formales Merkmal ein Abstraktum darstellen.

=== Liniendiagramm ===
Das obige Liniendiagramm enthält Kreise und verbindende Linien. Kreise stellen formale Begriffe dar. An den Linien lässt sich die Unterbegriff-Oberbegriff–Hierarchie ablesen.

Bei der hier verwendeten ''reduzierten Beschriftung'' wird jeder Gegenstands- und jeder Merkmalname genau einmal in das Diagramm eingetragen, wobei Gegenstände unterhalb und Merkmale oberhalb von Begriffskreisen stehen. Dies geschieht so, dass ein Merkmal genau dann von einem Gegenstand aus über einen aufsteigenden Linienzug erreichbar ist, wenn der Gegenstand das Merkmal hat.

In dem gezeigten Diagramm hat z. B. der Gegenstand ''Weiher'' die Merkmale ''stehend'' und ''konstant'', nicht aber die Merkmale ''temporär, natürlich, fließend'' und ''maritim''. Entsprechend haben ''Lache'' und ''Pfütze'' genau die Merkmale ''temporär, stehend'' und ''natürlich''.

Zu jedem Begriff kann man seinen Umfang und seinen Inhalt am Liniendiagramm ablesen. Der Umfang eines Begriffs besteht aus den Gegenständen, von denen ein aufsteigender Linienzug zum Kreis des Begriffes führt. Der Begriff, der im Diagramm unmittelbar links neben ''Weiher'' steht, hat den Inhalt ''stehend'' und ''natürlich'' und den Umfang ''Lache, Pfütze, Pfuhl, Maar, See, Teich, Tümpel, Haff'' und ''Meer''.

== Mathematische Grundlagen ==

Begriffsverbände sind gut geeignet, Daten so zu ordnen und darzustellen, dass sie auch ohne mathematische Vorbildung gut verstanden werden können. Die mathematischen Grundlagen sollen hier kurz dargelegt werden.

=== Formale Kontexte und Formale Begriffe ===
Gegeben seien zwei Mengen <math>G,\, M</math> und eine [[Relation]] <math>I \subseteq G\times M</math>. Das Tripel <math>\mathbb{K} = (G, M, I)</math> wird dann als ''formaler Kontext''<ref name="GW96Basics">{{Literatur |Autor=Bernhard Ganter, Rudolf Wille |Titel=Kap. 1 „Begriffsverbände von Kontexten“ |Sammelwerk=Formale Begriffsanalyse. Mathematische Grundlagen |Verlag=Springer |Ort=Heidelberg |Datum=1996 |ISBN=3-540-60868-0 |URN=nbn:de:1111-20111002812}}</ref> bezeichnet, <math>G</math> als seine ''Gegenstandsmenge'' und <math>M</math> als seine ''Merkmalsmenge''; für einen Gegenstand <math>g \in G</math> und ein Merkmal <math>m \in M</math> bedeutet <math>(g, m) \in I</math> „der Gegenstand <math>g</math> ''hat'' das Merkmal <math>m</math>“. Oft wird auch <math>g\mathrel{I}m</math> statt <math>(g,m) \in I</math> geschrieben. Die Menge <math>I</math> wird als ''Inzidenzrelation'' des formalen Kontextes bezeichnet.

Sind die Mengen <math>G</math> und <math>M</math> endlich, so lassen sich formale Kontexte gut in Form von „Kreuztabellen“ darstellen. Man beachte dabei, dass die Gegenstände und Merkmale in dieser Darstellung willkürlich geordnet werden können. Diese Ordnung ist dann aber nicht Teil des formalen Kontextes, sondern nur seiner Darstellung.

<!-- [[Datei:1-10Context.gif|mini|200px|Ein formaler Kontext zu Eigenschaften der Zahlen 1-10.]]
-->
{{Anker|Beispiel1}}Ist <math>A \subseteq G</math> eine Menge von Gegenständen eines formalen Kontextes <math>\mathbb{K} = (G, M, I)</math>, so bezeichnet man mit
:<math>A' := \{\, m \in M \mid \forall g \in A: g\mathrel{I}m \,\}</math>
die Menge der gemeinsamen Merkmale der Gegenstände in <math>A</math>. Entsprechend definiert wird für eine Menge <math>B \subseteq M</math> von Merkmalen von <math>\mathbb{K} = (G, M, I)</math> die Menge
:<math>B' := \{\, g \in G \mid \forall m \in B: g\mathrel{I}m \,\}</math>
aller Gegenstände, die alle Merkmale aus <math>B</math> besitzen. Die Menge <math>A'</math> und <math>B'</math> werden als die ''Ableitungen'' der entsprechenden Mengen <math>A</math> und <math>B</math> bezeichnet und die Funktionen, welche beide mit <math>(\cdot)'</math> benannt sind, ''Ableitungsoperatoren'' von <math>\mathbb{K}</math> genannt.

Die Ableitungsoperatoren erfüllen eine Reihe von sehr grundlegenden Eigenschaften. Sind <math>A,\, A_1,\, A_2</math> Mengen von Gegenständen und <math>B,\, B_1,\, B_2</math> Mengen von Merkmalen, so gilt
* <math>A_1 \subseteq A_2\, \implies\, A_2' \subseteq A_1'</math> und dual <math>B_1 \subseteq B_2\, \implies\, B_2' \subseteq B_1'</math>,
* <math>A \subseteq A''</math> und dual <math>B \subseteq B''</math>,
* <math>A' = A'''</math> und <math>B' = B'''</math>,
* <math>A \subseteq B' \iff A' \supseteq B</math>.

Tatsächlich definieren damit die Ableitungsoperatoren eine [[Galoisverbindung|antitone Galoisverbindung]] zwischen den [[Potenzmenge]]nverbänden der Gegenstandsmenge und der Merkmalmenge. Umgekehrt lässt sich jede solche Galoisverbindung zwischen Potenzmengenverbänden als Paar von Ableitungsoperatoren eines formalen Kontextes darstellen.

Zu einem formalen Kontext <math>\mathbb{K}</math> heißt nun ein Paar <math>(A, B)</math> ein ''formaler Begriff''<ref name="GW96Basics" /> von <math>\mathbb{K}</math>, falls
* <math>A</math> eine Menge von Gegenständen von <math>\mathbb{K}</math> ist,
* <math>B</math> eine Menge von Merkmalen von <math>\mathbb{K}</math> ist,
* <math>A' = B</math> und
* <math>B' = A</math> gilt.
Die Menge <math>A</math> wird dann ''Umfang'' und die Menge <math>B</math> ''Inhalt'' des Begriffes <math>(A,B)</math> genannt. Die Menge aller Begriffe wird mit <math>\mathfrak{B}(\mathbb{K})</math> bezeichnet. Stellt man formale Kontexte als Kreuztabellen dar, so lassen sich formale Begriffe – bei geeigneter Ordnung der Gegenstände und Merkmale – als ''maximale, vollständig gefüllte Rechtecke'' in dieser Kreuztabelle verstehen.

Sind nun <math>(A, B), (C, D) \in \mathfrak{B}(\mathbb{K})</math>, so lässt sich mit
:<math>(A, B) \le (C, D)\, \Leftrightarrow\, A \subseteq C</math>
eine Halbordnung auf <math>\mathfrak{B}(\mathbb{K})</math> definieren. Diese Ordnung macht dann die Struktur <math>(\mathfrak{B}(\mathbb{K}), \le)</math> zu einem vollständigen [[Verband (Mathematik)|Verband]]. Tatsächlich ist umgekehrt nach dem Hauptsatz der Formalen Begriffsanalyse jeder vollständige Verband ordnungsisomorph zu einem Begriffsverband.

<!-- [[Datei:1-10Lattice.png|mini|Begriffsverband zum obigen Zahlenkontext.]]
-->
Begriffsverbände können als [[Ordnungsdiagramm]]e (Liniendiagramme) dargestellt werden und entfalten so die Daten in ihrer Struktur und ihren Zusammenhängen. Die Gegenstände haben dabei alle (durch Kanten verbundene) darüber stehenden Merkmale; in nebenstehendem Beispiel ist 4 gerade, zusammengesetzt und quadratisch.

Mathematisch genauer kann zunächst die vereinfachte Beschriftung von Begriffsverbänden begründet werden. Betrachtet man für einen Gegenstand <math>g \in G</math> die Menge aller Begriffe, die <math>g</math> in ihrem Umfang haben, so hat diese Menge einen [[Filter (Mathematik)#Hauptfilter|Hauptfilter]] im Begriffsverband. Daher wird nur ''unterhalb'' des kleinsten Begriffs, der <math>g</math> im Umfang enthält, der Gegenstand <math>g</math> notiert. Dual dazu wird ''oberhalb'' des größten Begriffs, der ein gegebenes Merkmal <math>m \in M</math> im Inhalt besitzt, das Merkmal <math>m</math> notiert. Ein Begriff im Ordnungsdiagramm hat also genau dann einen Gegenstand in seinem Umfang, wenn er oberhalb des Begriffes liegt, der mit dem Gegenstand beschriftet ist. Entsprechend hat ein Begriff im Ordnungsdiagramm ein Merkmal in seinem Inhalt, wenn er unterhalb des Begriffes liegt, der mit dem Merkmal beschriftet ist.

=== Hauptsatz der Formalen Begriffsanalyse ===
Es sei <math>\mathbb{K} = (G, M, I)</math> ein formaler Kontext und <math>\underline{\mathfrak{B}}(\mathbb{K})</math> sein Begriffsverband. Man kann für Gegenstände <math>g \in G</math> und Merkmale <math>m \in M</math> dann die Begriffe

:<math>\gamma(g) = (\{\,g\,\}'', \{\,g\,\}'),</math>
:<math>\mu(m) = (\{\,m\,\}', \{\,m\,\}'')</math>

betrachten. Es wird <math>\gamma(g)</math> der ''Gegenstandsbegriff von <math>g</math>'' und <math>\mu(m)</math> der ''Merkmalsbegriff von <math>m</math>'' genannt. Weiterhin gilt

:<math> g\mathrel{I}m \iff \gamma(g) \le \mu(m)</math>

Ist nun <math>\underline{L} = (L, \le_L)</math> ein vollständiger Verband, so ist <math>\underline{L}</math> genau dann isomorph zu <math>\underline{\mathfrak{B}}(\mathbb{K})</math>, wenn es Abbildungen <math>\gamma_{\underline{L}}\colon G \to L, \mu_{\underline{L}}\colon M \to L</math> gibt derart, dass

:<math> g\mathrel{I}m \iff \gamma_{\underline{L}}(g) \le \mu_{\underline{L}}(m)</math>

gilt. Insbesondere ist <math>\underline{L}</math> isomorph zu <math>\underline{\mathfrak{B}}(L, L, \le_L)</math>.

Der Hauptsatz ist auch als ''Rudolf Willes Hauptsatz über Begriffsverbände'' bekannt. Er besagt unter anderem, dass jeder [[Vollständiger Verband|vollständige Verband]] einem Begriffsverband isomorph ist.<ref>Bernhard Ganter: ''Diskrete Mathematik: Geordnete Mengen.'' 2013, S. 66, S. 167–168.</ref>

== Implikationentheorie Formaler Kontexte ==
Für einen formalen Kontext <math>\mathbb{K} = (G, M, I)</math> kann seine ''Implikationentheorie'' untersucht werden. Dabei ist eine Implikation von <math>\mathbb{K}</math> einfach ein Paar <math>(A, B)</math> mit <math>A, B \subseteq M</math>, was meist mit <math>A \to B</math> geschrieben wird. Man sagt, dass <math>A \to B</math> in <math>\mathbb{K}</math> ''gilt'', wenn jeder Gegenstand, der alle Merkmale aus <math>A</math> besitzt, auch alle Merkmale aus <math>B</math> besitzt, wenn also <math>A' \subseteq B'</math> gilt. Diese Bedingung ist äquivalent dazu, dass <math>B \subseteq A''</math> gilt.

Ist <math>\mathcal{L}</math> eine Menge von Implikationen von <math>\mathbb{K}</math> und ist <math>A \subseteq M</math>, so bezeichnet man mit <math>\mathcal{L}(A)</math> die kleinste Menge, die <math>A</math> enthält und abgeschlossen ist unter <math>\mathcal{L}</math>. Dabei heißt eine Menge <math>X \subseteq M</math> ''abgeschlossen unter <math>\mathcal{L}</math>'', falls für alle Implikationen <math>(A \to B) \in \mathcal{L}</math> stets <math>A \not\subseteq X</math> oder <math>B \subseteq X</math> gilt, wenn also <math>A \subseteq X</math> stets <math>B \subseteq X</math> impliziert. Man sieht dann, dass die Abbildung <math>A \to \mathcal{L}(A)</math> ein [[Hüllenoperator]] auf der Potenzmenge von <math>M</math> ist.

Ist <math>A \to B</math> eine Implikation von <math>\mathbb{K}</math>, so ''folgt'' <math>A \to B</math> aus <math>\mathcal{L}</math>, falls <math>B \subseteq \mathcal{L}(A)</math> gilt. Dies ist äquivalent dazu, dass in jedem formalen Kontext, in dem alle Implikationen aus <math>\mathcal{L}</math> gelten, auch stets die Implikation <math>A \to B</math> gilt.

Eine ''Basis'' für <math>\mathbb{K}</math> ist dann eine Menge <math>\mathcal{L}</math> von gültigen Implikationen von <math>\mathbb{K}</math>, so dass jede ([[semantisch]]) gültige Implikation aus <math>\mathbb{K}</math> bereits aus <math>\mathcal{L}</math> folgt, durch Anwendung geeigneter [[syntaktisch]]er [[Inferenzregel]]n wie der ''Armstrong-Regeln''<ref>{{Literatur |Autor=W.W. Armstrong |Titel=Dependency structures of data base relationships |Sammelwerk=[[International Federation for Information Processing|IFIP Congress]] |Ort=Genf |Datum=1974 |ISBN= |Seiten=580–583}}</ref>. Die in diesem neuen Sinn abgeschlossene Menge aller Implikationen von <math>\mathbb{K}</math> ist eine [[Theorie#Definition|Theorie]], da sie außerdem laut Konstruktion zum Beispiel bezüglich des zugrunde liegenden Kontexts [[Erfüllbarkeit|erfüllbar]] ist.

Die Basis heißt ''irredundant'', falls sie <math>\subseteq</math>-minimal mit dieser Eigenschaft ist. Ein Beispiel für eine irredundante Basis ist die ''kanonische Basis'' (siehe auch [[Merkmalexploration#Mathematische Grundlagen|Merkmalexploration]]), die darüber hinaus die Eigenschaft hat, auch minimal bezüglich der Größe der Basis zu sein.

Es gilt, dass eine Menge <math>\mathcal{L}</math> von Implikationen genau dann eine Basis eines Kontextes <math>\mathbb{K}</math> ist, wenn die Menge der unter <math>\mathcal{L}</math> abgeschlossenen Mengen genau die der Inhalte von <math>\mathbb{K}</math> ist.

=== Merkmalexploration ===
{{Hauptartikel|Merkmalexploration}}

Es ist möglich, die Implikationentheorie eines bestimmten Themengebietes mit Hilfe eines formalen Kontextes darzustellen. Dies bedeutet insbesondere, dass man dies mit Hilfe einer ausreichenden Menge von Beispielen tun kann, die dann die Gegenstände des formalen Kontextes werden. Theoretisch kann solch eine Menge von Beispielen von einem menschlichen Experten oder auch einer Maschine angegeben werden.

Dabei entsteht allerdings das Problem, dass weder von vornherein garantiert ist, dass eine ausreichende Menge von Beispielen angegeben ist, noch, ob nicht einige generierte Beispiele redundant sind, da bereits gegebene Beispiele ausreichen. Unter den Gesichtspunkten, dass die Generierung guter Beispiele schwierig ist, die Befragung von Experten oder gar neue Experimente teuer sind, und Literatursuche oder Algorithmen aufwendig werden können, ist dies ein ernstzunehmendes Problem.

Abhilfe kann hier der Algorithmus der Merkmalexploration schaffen. Ausgehend von einer bereits bekannten Menge von Implikationen und einer bereits bekannten Menge von Beispielen aus dem Themengebiet schlägt der Algorithmus Implikationen vor, die dann von einem Experten (menschlich oder nicht) akzeptiert oder zurückgewiesen werden können. Dabei soll eine Implikation genau dann akzeptiert werden, wenn diese im besagten Themengebiet gültig ist. Wird eine Implikation zurückgewiesen, so muss der Experte ein Gegenbeispiel erzeugen, das dann von einem Experten (menschlich oder nicht) akzeptiert oder zurückgewiesen werden kann. Dabei soll eine Implikation genau dann akzeptiert werden, wenn diese im besagten Themengebiet gültig ist. Durch ein akzeptiertes Gegenbeispiel, wird die Implikation widerlegt und somit eine kleinstmögliche Menge von akzeptierten Implikationen generiert, die am Ende das Themengebiet vollständig beschreibt. Darüber hinaus wird auch die Menge von Beispielen vervollständigt.

== Anwendungserfahrungen mit der Formalen Begriffsanalyse ==
Die Formale Begriffsanalyse lässt sich als qualitative Methode zur Datenanalyse einsetzen. Seit den frühen Anfängen von Formale Begriffsanalyse Anfang der 1980er hat die Forschungsgruppe Formale Begriffsanalyse an der TU-Darmstadt Erfahrungen aus mehr als 200 Projekten gesammelt, in denen die Formale Begriffsanalyse angewandt wurde (Stand 2005).<ref name="FCAFaA">{{Literatur |Hrsg=Bernhard Ganter, Gerd Stumme, Rudolf Wille |Titel=Formal Concept Analysis. Foundations and Applications |Verlag=Springer Science & Business Media |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=2005 |ISBN=3-540-27891-5 |Online=[http://books.google.de/books?id=nEh4D4e88NwC&printsec=frontcover&hl=de&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false books.google.de] |DOI=10.1007/978-3-540-31881-1 |Abruf=2015-11-14}}</ref> Darunter aus den Bereichen: [[Medizin]] und [[Zellbiologie]],<ref>{{Literatur |Autor=Susanne Motameny, Beatrix Versmold, Rita Schmutzler |Hrsg=Raoul Medina, Sergei Obiedkov |Titel=Formal Concept Analysis for the Identification of Combinatorial Biomarkers in Breast Cancer |Sammelwerk=ICFCA 2008 |Reihe=LNAI |Band=4933 |Verlag=Springer |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=2008 |ISBN=978-3-540-78136-3 |Seiten=229–240 |Online=[http://www.springer.com/us/book/9783540781363 springer.com] |Abruf=2016-01-29}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Dominik Endres, Ruth Adam, Martin A. Giese, Uta Noppeney |Hrsg=Florent Domenach, Dmitry I. Ignatov, Jonas Poelmans |Titel=Understanding the Semantic Structure of Human fMRI Brain Recordings with Formal Concept Analysis |Sammelwerk=ICFCA 2012 |Reihe=LNCS |Band=7278 |Verlag=Springer |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=2012 |ISBN=978-3-642-29891-2 |ISSN=0302-9743 |Seiten=96–111 |DOI=10.1007/978-3-642-29892-9}}</ref> [[Genetik]],<ref>{{Literatur |Autor=Denis Ponomaryov, Nadezhda Omelianchuk, Victoria Mironova, Eugene Zalevsky, Nikolay Podkolodny, Eric Mjolsness, Nikolay Kolchanov |Hrsg=Karl Erich Wolff, Dmitry E. Palchunov, Nikolay G. Zagoruiko, Urs Andelfinger |Titel=From Published Expression and Phenotype Data to Structured Knowledge: The Arabidopsis Gene Net Supplementary Database and Its Applications |Sammelwerk=KONT 2007, KPP 2007 |Reihe=LNCS |Band=6581 |Verlag=Springer |Ort=Heidelberg New York |Datum=2011 |ISBN=978-3-642-22139-2 |ISSN=0302-9743 |Seiten=101–120 |DOI=10.1007/978-3-642-22140-8}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Mehdi Kaytoue, Sergei Kuznetsov, Amedeo Napoli, Sébastien Duplessis |Titel=Mining gene expression data with pattern structures in formal concept analysis |Sammelwerk=Information Sciences |Band=181 |Nummer=10 |Verlag=Elsevier |Ort= |Datum=2011 |Seiten=1989–2001 |Online=[https://www.hse.ru/data/2010/11/01/1223500185/InformationSciences.pdf hse.ru] |Format=PDF |KBytes= |DOI=10.1016/j.ins.2010.07.007 |Abruf=2016-02-13}}</ref> [[Ökologie]],<ref>{{Literatur |Autor=Aurélie Bertaux, Florence Le Ber, Agnès Braud, Michèle Trémolières |Hrsg=Sébastien Ferré, Sebastian Rudolph |Titel=Identifying Ecological Traits: A Concrete FCA-Based Approach |Sammelwerk=ICFCA 2009 |Reihe=LNAI |Band=5548 |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=2009 |ISBN=978-3-642-01814-5 |Seiten=224–236 |DOI=10.1007/978-3-642-01815-2}}</ref> [[Softwaretechnik]],<ref>{{Literatur |Autor=Gregor Snelting, Frank Tip |Titel=Reengineering class hierarchies using concept analysis |Sammelwerk=Proceeding. SIGSOFT ’98/FSE-6 |Band=23 |Nummer=6 |Verlag=ACM |Ort=New York |Datum=1998 |ISBN=1-58113-108-9 |Seiten=99–110 |Online=[http://dl.acm.org/citation.cfm?doid=288195.288273 dl.acm.org] |DOI=10.1145/291252.288273 |Abruf=2016-02-04}}</ref> [[Ontologie (Informatik)]]<ref>{{Literatur |Autor=Gerd Stumme, Alexander Maedche |Hrsg=[[Universität Leipzig|Uni Leipzig]] |Titel=FCA-Merge: Bottom-up merging of ontologies |Sammelwerk=IJCAI |Ort=Leipzig |Datum=2001 |Seiten=225–230 |Online=[http://se-pubs.dbs.uni-leipzig.de/files/Stumme2001FCAMergeBottomupmergingofontologies.pdf se-pubs.dbs.uni-leipzig.de] |Format=PDF |KBytes= |Abruf=2016-02-13}}</ref>, [[Informationsmanagement|Informations]]- und [[Bibliothekswissenschaft]]en,<ref>{{Literatur |Autor=Uta Priss |Hrsg=American Documentation Institute |Titel=Formal Concept Analysis in Information Science |Sammelwerk=Annual Review of Information Science and Technology |Band=40 |Nummer=1 |Verlag=Information Today Inc. |Ort=Medford, NJ 09855 |Datum=2006 |ISSN=0066-4200 |Seiten=521–543 |Online=[http://www.upriss.org.uk/papers/arist.pdf upriss.org.uk] |Format=PDF |KBytes= |DOI=10.1002/aris.1440400120 |Abruf=2016-02-04}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Jens Illig, Andreas Hotho, Robert Jäschke, Gerd Stumme |Hrsg=Karl Erich Wolff, Dmitry E. Palchunov, Nikolay G. Zagoruiko, Urs Andelfinger |Titel=A Comparison of Content-Based Tag Recommendations in Folksonomy Systems |Sammelwerk=KONT 2007, KPP 2007 |Reihe=LNCS |Band=6581 |Verlag=Springer |Ort=Heidelberg New York |Datum=2011 |ISBN=978-3-642-22139-2 |ISSN=0302-9743 |Seiten=136–149 |DOI=10.1007/978-3-642-22140-8}}</ref><ref>{{Literatur |Hrsg=Claudio Carpineto, Giovanni Romano |Titel=Concept Data Analysis: Theory and Applications |Verlag=John Wiley & Sons |Ort= |Datum=2004 |ISBN=0-470-85055-8 |Online=[http://eu.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0470850558.html eu.wiley.com] |Abruf=2016-02-04}}</ref> [[Büromanagement|Büroorganisation]],<ref>{{Literatur |Autor=Richard Cole, Gerd Stumme |Hrsg=Bernhard Ganter, Guy W. Mineau |Titel=CEM – A Conceptual Email Manager |Sammelwerk=Conceptual Structures: Logical, Linguistic, and Computational Issues |Reihe=LNAI |Band=1867 |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=2000 |ISBN=3-540-67859-X |Seiten=438–452 |DOI=10.1007/10722280}}</ref> [[Recht]],<ref>{{Literatur |Autor=Dieter Eschenfelder, Wolfgang Kollewe, Martin Skorsky, Rudolf Wille |Hrsg=Gerd Stumme, Rudolf Wille |Titel=Ein Erkundungssystem zum Baurecht: Methoden der Entwicklung eines TOSCANA-Systems |Sammelwerk=Begriffliche Wissensverarbeitung – Methoden und Anwendungen |Verlag=Springer |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=2000 |ISBN=3-540-66391-6 |Seiten=254–272 |DOI=10.1007/978-3-642-57217-3_12}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Nada Mimouni, Adeline Nazarenko; Sylvie Salotti |Hrsg=Jaume Baixeries, Christian Sacarea, Manuel Ojeda-Aciego |Titel=A Conceptual Approach for Relational IR: Application to Legal Collections |Sammelwerk=ICFCA 2015 |Reihe=LNAI |Band=9113 |Verlag=Springer |Ort=Heidelberg New York |Datum=2015 |ISBN=978-3-319-19544-5 |ISSN=0302-9743 |Seiten=303–318 |DOI=10.1007/978-3-319-19545-2_19}}</ref> [[Sprachwissenschaft]],<ref>{{Literatur |Autor=Uta Priss |Hrsg=[[Bernhard Ganter]], Gerd Stumme, [[Rudolf Wille (Mathematiker)|Rudolf Wille]] |Titel=Linguistic Applications of Formal Concept Analysis |Sammelwerk=Formal Concept Analysis – Foundations and Applications |Reihe=LNCS |Band=3626 |Verlag=Springer |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=2005 |ISBN=3-540-27891-5 |ISSN=0302-9743 |Seiten=149–160 |DOI=10.1007/978-3-540-31881-1}}</ref> [[Politikwissenschaft]]en.<ref>{{Literatur |Autor=[[Beate Kohler-Koch]], Frank Vogt |Hrsg=Gerhard Stumme, [[Rudolf Wille (Mathematiker)|Rudolf Wille]] |Titel=Normen- und Regelgeleitete internationale Kooperationen |TitelErg="Zitiert nach: Peter Becker et al. The ToscanaJ Suite for Implementing Conceptual Information Systems" |Sammelwerk=Begriffliche Wissenverarbeitung – Methoden und Anwendungen |Verlag=Springer |Ort=Berlin, Heidelberg, New York |Datum=2000 |ISBN=978-3-540-66391-1 |Seiten=325–340}}</ref>

Viele weitere Anwendungsbeispiele sind z. B. beschrieben in: ''Formal Concept Analysis. Foundations and Applications'',<ref name="FCAFaA" /> den Konferenzbänden zu regelmäßig stattfindenden [[Wissenschaftliche Konferenz|Konferenzen]], wie: ''International Conference on Formal Concept Analysis'' (ICFCA),<ref>{{Internetquelle |url=http://dblp.uni-trier.de/db/conf/icfca/index |titel=International Conference on Formal Concept Analysis |hrsg=[[Digital Bibliography & Library Project|dblp]] |zugriff=2016-02-14 |sprache=en}}</ref> ''Concept Lattices and their Applications'' (CLA)<ref>{{Internetquelle |url=http://cla.inf.upol.cz/papers.html |titel=CLA: Concept Lattices and Their Applications |titelerg=Conference Homepage mit [[Open Access|Open-Access]]-Artikeln aller Konferenzen seit 2004 |hrsg=CLA |zugriff=2015-11-14 |sprache=en}}</ref> oder ''International Conference on Conceptual Structures'' (ICCS).<ref>{{Internetquelle |url=http://conceptualstructures.org/confs.htm |titel=International Conferences On Conceptual Structures – Conferences and Workshops |hrsg=New Mexico State University |zugriff=2016-02-14 |sprache=en}}</ref>

== Literatur ==
* {{Literatur
   |Autor=Brian A. Davey, [[:en:Hilary Priestley|Hilary A. Priestley]]
   |Titel=Introduction to Lattices and Order
   |Auflage=2.
   |Verlag=Cambridge University Press
   |Ort=New York
   |Datum=2002
   |ISBN=0-521-78451-4
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=ALLF&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Lattices%20&s5=Introduction%20to%20lattices&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=11&mx-pid=1902334 MR1902334]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[Bernhard Ganter]]
   |Titel=Diskrete Mathematik: Geordnete Mengen
   |Reihe=Springer-Lehrbuch
   |Verlag=[[Springer Spektrum]]
   |Ort=Berlin, Heidelberg
   |Datum=2013
   |Seiten=
   |ISBN=978-3-642-37499-9
   |DOI=10.1007/978-3-642-37500-2}}
* {{Literatur
   |Autor=Bernhard Ganter, Rudolf Wille
   |Titel=Formale Begriffsanalyse
   |Verlag=Springer
   |Datum=1996
   |ISBN=3-540-60868-0}}
* {{Literatur
   |Hrsg=Bernhard Ganter, Gerd Stumme, Rudolf Wille
   |Titel=Formal Concept Analysis. Foundations and Applications
   |Verlag=Springer
   |Datum=2005
   |ISBN=3-540-27891-5
   |Online=[http://books.google.de/books?id=nEh4D4e88NwC&printsec=frontcover&hl=de&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false Vorschau]}}
* {{Literatur
   |Autor=[[George Grätzer]]
   |Titel=General Lattice Theory
   |TitelErg=New appendices by the author with B. A. Davey, R. Freese, [[Bernhard Ganter|B. Ganter]], M. Greferath, P. Jipsen, H. A. Priestley, H. Rose, [[E. T. Schmidt]], S. E. Schmidt, F. Wehrung and [[Rudolf Wille (Mathematiker)|R. Wille]]
   |Reihe=
   |BandReihe=
   |Auflage=2. 
   |Verlag=[[Birkhäuser Verlag]]
   |Ort=Basel, Boston, Berlin
   |Datum=1998
   |ISBN=3-7643-5239-6
   |Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Gr%C3%A4tzer&s5=Lattice%20theory&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=4&mx-pid=1670580 MR1670580]}}
* {{Literatur
   |Autor=R. Missaoui, Jürg Schmid
   |Titel=Formal Concept Analysis
   |Verlag=Springer
   |Datum=2006
   |ISBN=3-540-32203-5}}
* {{Literatur
   |Hrsg=Raoul Medina, Sergei Obiedkov
   |Titel=Formal Concept Analysis. 6th International Conference, ICFCA 2008, Montreal, Canada, February 25–28, 2008
   |Verlag=Springer
   |Ort=Heidelberg
   |Datum=2008
   |ISBN=978-3-540-78136-3
   |Kommentar=LNCS/LNAI 4933
   |Online=[http://www.springerlink.com/content/978-3-540-78136-3 springerlink.com]}}

== Weblinks ==
* {{Internetquelle | url=http://www.upriss.org.uk/fca/ | titel=Formal Concept Analysis Homepage | autor=Uta Priss | datum=2007 | zugriff=2019-05-02 | sprache=en}} mit Links zu weiteren Programmen
* {{Internetquelle | url=http://www.math.tu-dresden.de/~ganter/fba.html | titel=The Dresden Formal Concept Analysis Page | autor=[[Bernhard Ganter]] | hrsg=[[Technische Universität Dresden|TU Dresden]] | datum=1999-03-02 | zugriff=2019-05-02 | sprache=en}}
* {{Internetquelle | url=https://www.bibsonomy.org/?lang=de | titel=BibSonomy. Lesezeichen und Publikationen teilen - in blau! | hrsg=bibsonomy.org | zugriff=2019-05-02}} Literatur und Weblinks nicht nur zu Formale Begriffsanalyse (social bookmarking)

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Mathematische Logik]]
[[Kategorie:Ordnungstheorie]]
[[Kategorie:Ontologie]]
[[Kategorie:Künstliche Intelligenz]]
[[Kategorie:Business Intelligence]]